jueves, 1 de marzo de 2012

Reporte 2 - Distribuciones Discretas y Continuas

Mi problema - Ruleta rusa


La ruleta rusa es un juego de azar potencialmente letal, en donde los participantes colocan una bala dentro del revólver, giran el cilindro, colocan la punta del arma en la cabeza, y jalan el gatillo. El juego es llamado así por el supuesto orígen ruso del juego. Es comúnmente jugado por apostadores desesperados, que dan todas sus pertenencias en una apuesta de vida y muerte, además de que también otra gente apuesta para quién sobrevivirá. 



Existen diferentes revolvers con diferentes tamaños de cilindro. Los más comúnes son los de 6 balas, y es el que se usará como ejemplo en este post.



Hay diferentes variaciones del juego, algunas son:
  • Girar el cilindro cada turno. El "jugador" gira el cilindro al iniciar su turno, jala el gatillo, y si sigue con vida el siguiente repite lo mismo hasta que alguna persona muera. De este modo, las probabilidades de que toque una bala y el  jugador muera es de 1/6(asumiendo que el revolver no fallara en disparar), ya que cada vez que se gira el revolver es como si se reiniciara la probabilidad.
  • Girar solo al inicio. Una persona neutral gira el cilindro al iniciar el juego. Y alguno de los jugadores inicia con jalar el gatillo, si sigue con vida, el siguiente jugador jalara el gatillo, y así sucesivamente.Así incialmente el primer jugador tiene 1/6 de probabilidad de morir, el segundo 1/5, el tercero 1/4. Si el arma no ha sido disparada, la probabilidad de morir en el sexto turno sería de 100%. 



Como se puede ver, en el peor caso en cuanto a posición de la bala, el sexto jugador tendría 100% de probabilidad de morir(o de usar la bala de forma creativa, ¿por qué no?).

Se usará la primer variación debido a que es la más justa y sencilla.

Planteamiento

"Si una persona juega ruleta rusa tradicional (con un revólver de 6 balas, usando una sola en el barril, y el barril se gira cada turno), cuál es la probabilidad de morir en el N-ésimo round?"

Distribución Discreta


Las distribuciones discretas son aquellas en las que la variable puede pude tomar un número determinado de valores. Ejemplo: si se lanza una moneda al aire puede salir cara o cruz; si se tira un dado puede salir un número de 1 al 6

Algunas distribuciones de probabilidad discretas son:
  • Distribución binomial
  • Distribución binomial negativa
  • Distribución Poisson
  • Distribución geométrica
  • Distribución hipergeométrica
  • Distribución de Bernoulli
Distribución Binomial

La distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que mide el número de éxitos en una secuencia de nensayos de Bernoulli independientes entre sí, con una probabilidad fija p de ocurrencia del éxito entre los ensayos. 

Por ejemplo:
  • Se lanza un dado diez veces y se cuenta el número X de treses obtenidos: entonces X ~ B(10, 1/6)
  • Se lanza una moneda dos veces y se cuenta el número X de caras obtenidas: entonces X ~ B(2, 1/2)
Pero pensar en esta distribución discreta para mi problema no es algo muy bueno, ya que involucra fallas espantosas en la lógica del mismo, veamos por qué.

En mi problema, esta distribución se podría aplicar para dos cosas:
  1. Para contar el número de veces que sobrevivió una persona en "N" rounds de ruleta rusa jugados. No tiene mucho sentido, ya que en algún momento, la persona moriría, y ya no se debería seguir contando si sobrevivió o no.
  2. Contar el número de veces que una persona "moriría" al jugar "N" rounds de ruleta rusa. Igual que en el anterior, se puede calcular, pero el estudio de lo mismo carece de sentido.
Por lo tanto descartaré la distribución binomial para el problema de la ruleta rusa por no ser convencional, y en su lugar utilizaré la probabilidad geométrica.


Distribución Geométrica


La distribución geométrica es cualquiera de las dos distribuciones de probabilidad discretas siguientes:
  1. La distribución de probabilidad del número X del ensayo de Bernoulli necesaria para obtener un éxito, contenido en el conjunto { 1, 2, 3,...} o
  2. La distribución de probabilidad del número Y = X − 1 de fallos antes del primer éxito, contenido en el conjunto { 0, 1, 2, 3,... }.
Como el planteamiento dice, si buscamos la probabilidad de morir en el N-ésimo round, eso significa que se debió haber sobrevivido N-1 rounds. Dicho eso, lo siguiente se saca por lógica:

p(Probabilidad de Sobrevivir) = 5/6

q(Probabilidad de Morir) = 1 - p = 1/6

Ahora, como obviamente estamos pensando que la probabilidad de sobrevivir siempre será 5/6, es decir que se girará el barril cada turno, para obtener la probabilidad de sobrevivir N rounds simplemente debemos multiplicar esta probabilidad por si misma el número de rounds que se jugará. Entonces la probabilidad de sobrevivir N rounds, es una fórmula simple:

PSobrevivir N juegos(Turno) = p^N

Como se puede ver, la probabilidad va decreciendo conforme aumentan los turnos, esto ya que estamos pensando que siempre se va a reiniciar la probabilidad.

De esta forma podemos saber, cual es la probabilidad de morir al N-ésimo juego, esto usando la fórmula anterior, ya que si murió al N-ésimo juego, entonces el exponente debería ser N-1, y multiplicarlo por la probabilidad de morir al final, de la siguiente manera.

PMorir en el N-ésimo juego(N) = q*p^(N-1)


Como podemos ver, la probabilidad de que este evento suceda es aún más pequeña, ya que la probabilidad de morir en sí es de 1/6.

El código usado para encontrar ésta probabilidad fue el siguiente:


Es el de la clase, pero se le realizo un cambio, ya que como en mi caso deseaba calcular la probabilidad de que la persona sobreviviera N-1 rounds, y muriera al round N, modifique la fórmula para elevar p^(k-1) en vez de q. Es decir, solo cambie el orden de p y q en la fórmula. Además cambie de lugar el contador para comenzar desde 1, nada fuera de lo común.


Distribución Continua


Las distribuciones continuas son aquellas que presentan un número infinito de posibles soluciones.

Ejemplo: El peso medio de los alumnos de una clase puede tomar infinitos valores dentro de cierto intervalo (42,37 kg, 42,3764 kg, 42, 376541kg, etc); la esperanza media de vida de una población (72,5 años, 7,513 años, 72, 51234 años).

Busqué distribuciones continuas que se comportaran en una gráfica de manera similar a la mia, en esto encontre la Distribución Exponencial.

Distribución Exponencial


La distribución exponencial es el equivalente continuo de la distribución geométrica discreta. Esta ley de distribución describe procesos en los que:

  • Nos interesa saber el tiempo hasta que ocurre determinado evento, sabiendo que,
  • el tiempo que pueda ocurrir desde cualquier instante dado t, hasta que ello ocurra en un instante tf, no depende del tiempo transcurrido anteriormente en el que no ha pasado nada.
Ejemplos de este tipo de distribuciones son:

  • El tiempo que tarda una partícula radiactiva en desintegrarse. El conocimiento de la ley que sigue este evento se utiliza en Ciencia para, por ejemplo, la datación de fósiles o cualquier materia orgánica mediante la técnica del carbono 14, C14.
Ahora esto en mi problema no es posible enunciarlo, ya que el tiempo NO es realmente un factor en la ruleta rusa, no importa lo mucho que esperes, no afectara si te toca bala o no. Pero es la única manera posible de que encontré de modelarlo matemáticamente de forma discreta a continua.

Buscando sobre la distribución continua, encontré que la funcion densidad de la probabilidad se comporta de la misma manera que mi gráfica en forma geométrica, como se puede ver enseguida.

Exponential distribution pdf.png

Viendo esto, procedí a reemplazar en el código pasado, la fórmula para calcular la probabilidad, con la fórmula para calcular la densidad de la probabilidad, que es la siguiente:

\begin{displaymath}{
\mbox{\fbox{$\displaystyle
f(x) =
\lambda e^{-\lambda x} \mbox{si } 0<x
$ } }
}
\end{displaymath} 

El nuevo código es el siguiente:




Lambda en sí es una variable aleatoria, e intente usar diferentes lambdas para ver el comportamiento de la gráfica, tuve algunos resultados como los siguientes:



Aquí como se puede ver, la gráfica no se asemeja a su forma discreta, por lo tanto intente aumentar el valor, con nada de éxito. Pero al disminuirlo, note que la gráfica se asemejaba más y más al su versión discreta. Fue entonces cuando note que en la gráfica anterior, la función tocaba el eje y, cerca de .18. Por lo tanto eso fue lo que le di de valor a lambda, y eureka, la gráfica quedo exactamente como su versión discreta, como se puede ver.


Referencias:

1 comentario:

  1. Que padre :) Van 5 y 5, pero con sus -2 por el retraso.

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