Tarea 2: Transformada de Laplace

Para la Tarea 2, debíamos de escoger un ejercicio para resolver, de el libro: "Ingeniería de
Control Moderna" de Katsuhijo Ogata. Mi ejercicio fue el siguiente:

Entonces, como dice el ejercicio, debía obtener la transformada de Laplace de la función que corresponde a dicha gráfica. No podemos sacar la transformada directamente de una gráfica de ésta manera. Para poder empezar necesitamos obtener la función o funciones que satisfacen ésta gráfica. En este caso son dos, como se puede observar claramente, la función está definida en los intervalos de 0 a T, y de T a infinito, y en ambas es diferente, por lo tanto podemos separar f(t) en dos funciones g(t) y h(t) y obtener la forma algebraica de cada una, entonces quedaría algo así:

Para h(t) no es necesario encontrar la función de alguna forma en específico, basta con ver la gráfica para saber que h(t) siempre será igual a T, desde T hasta infinito. Pero g(t) es diferente(aunque sería fácil deducir también de manera gráfica que g(t) = t, explicaré como obtenerla). Para obtener g(t), utilizamos dos puntos de la gráfica(1) para luego sustituirlos en la ecuación(2):

(1)                                                                                 (2)

Podemos utilizar cualquier par de puntos como (x1, y1), (x2, y2), respectivamente, y obtener la misma función, pero por simplicidad escogí:

Entonces lo restante es sustituir los valores de los puntos en la ecuación, y despejar y. Lo cual se hace así:

Ya que tenemos g(t) y h(t), podemos proceder a encontrar la transformada de Laplace. Para esto utilizamos la fórmula que dice: 

Pero nosotros no tenemos una función directa f(t), tenemos las dos funciones que forman f(t): g(t) y h(t), por lo tanto, partimos los intervalos de ésta fórmula en dos (de 0 a T, y de T a infinito, como g(t) y h(t)). Después sustituimos g(t) y h(t). La fórmula entonces quedaría así:

Entonces para encontrar la Transformada de Laplace de f(t) debemos integrar ambas partes. Para comprender más fácilmente ésto, lo haré por partes, integrando primero (1) y luego (2), al final entonces simplemente las sumaríamos. También ignoraré los intervalos por ahora, más adelante los evaluamos.

Para integrar (1) tenemos que realizarlo por partes; si no sabemos como, se utiliza la fórmula: 

Entonces sustituyendo los valores, e integrando quedaría algo así:

(Nota: no voy a explicar paso a paso las integrales porque es algo tedioso, solo me dedicaré a explicar superficialmente)

Eso es para el primer intervalo, para el segundo, que sería la ecuación (2), la integral es bastante sencilla:

(T es constante, por lo tanto podemos sacarla de la integral)

Ya teniendo ambas integrales, debemos ahora sí evaluarlas en los intervalos correspondientes. 

Con evaluarlas me refiero a sustituir los valores de los extremos de los intervalos superior e inferior, y restarlos respectivamente. Entonces, volvemos a separar ambas en (1) y (2) para entenderlo más fácilmente. Para evaluar (1) y (2) entonces tenemos que:

Ahora estos valores serán los que sumaremos para obtener finalmente la transformada de Laplace, de la siguiente manera:

Pero aún así podemos simplificarla un poco más, agrupando los términos que tienen s^2 de denominador. Quedando definitivamente de la siguiente forma:

Resultado:

Y este fue el ejercicio de la Tarea 2, tengo que decir que no fue sencillo, debido a que no recordaba bien como realizar este tipo de ejercicios(el problema estaba sencillo). 

Referencia:

• http://www.matematica1.com/2012/03/transformada-de-laplace-partir-de-una.html