Tarea 7: Problema 9.1 - Criterio de Estabilidad de Nyquist

El problema que escogí del libro, fue el 9.1:

Los sistemas del problema 8.1 son los siguientes:

Entonces lo que hay que hacer para cada sistema es, utilizando el criterio de Nyquist:

• Investigar la estabilidad del sistema.
• Especificar los valores de N, P y Z.

Investigar la estabilidad del sistema

Lo primero se hace en base a la posición de los polos, tomando en cuenta que:

"Un sistema realimentado es estable si todos los polos de lazo cerrado se ubican en el semiplano izquierdo del plano s. Esto es lo mismo a decir que todas las raíces de la ecuación característica tienen parte real negativa."

Esto se puede observar en la imágen:

Especificar los valores de N, P y Z

Los valores de N, P y Z son:

• P: Polos, raíces del denominador de la función de transferencia.
• Z: Ceros (Zeros), raíces del numerador de la función de transferencia. 
• N:  N = Z - P

Para hacer ambos pasos, escribí un programa en Octave que toma como parámetros el numerador y denominador de la función de transferencia, y grafica el diagrama de Nyquist correspondiente, encuentra sus polos y zeros, analiza la estabilidad basado en ellos y calcula N, Z y P. El programa es el siguiente

Sistema 1:

Utilizando el programa con los datos de la función de transferencia, nos arroja la siguiente salida:

Como se puede observar, la parte real de ambos zeros es negativa, por lo cual se puede concluir que el sistema es estable.

Sistema 2

Utilizando el programa, dando como entrada los vectores con el numerador y denominador de ésta función de transferencia, la salida es:

En este caso ambas raíces(zeros), la parte real se encuentra en cero, por lo cual el sistema no es estable

Sistema 3

Con el programa y los nuevos datos de ésta función de transferencia, obtenemos los resultados:

A diferencia de los anteriores, ahora contamos con ceros con parte real e imaginaria. Esto no cambia nada, debido a que debemos enfocarnos en la parte real. Ambas partes reales de las raíces son negativas, por lo que se concluye que el sistema es estable.

Sistema 4

Utilizando el programa, la salida es:

Aquí, una raíz es 0, es decir no todas son negativas, por lo cual el sistema no es estable.

Referencias:

• Sistemas de control moderno, Richard C. Dorf, Robert H. Bishop

Tarea 6: Representación en el Espacio de Estados

Para esta tarea escogí el siguiente problema:

El problema pide obtener una representación del espacio de estados del sistema siguiente, utilizando MATLAB(Octave):

Para ello podemos crear un sistema usando los datos de la función de transferencia anterior, y la función tftss.

Función tf2ss

Sintaxis: [A,B,C,D]=tf2ss(b,a) [A,B,C,D]=tf2ss(sys) Descripción: Convierte los parámetros de una función de transferencia de un sistema dado a su equivalente en representación de espacio de estados.

Nota: Se requiere instalar el paquete Signal de Octave para poder utilizar la función tf2ss.

Entonces esos valores podemos usarlos para obtener la representación en el espacio de estados, tomando en cuenta lo siguiente:

Lo que nos da la siguiente representación de estados para la función de transferencia

Referencias:

• Ingeniería de Control Moderno - K. Ogata
• http://www.mathworks.com/help/signal/ref/tf2ss.html

Tarea 5: Diagrama de Nyquist y Estabilidad de un sistema

Mi problema para esta semana es el siguiente:

El problema pide dibujar un diagrama de Nyquist de la función ahí mostrada, y examinar su estabilidad. Lo segundo es lo mismo en lo que estaremos trabajando para la tercera tarea de la materia con nuestra función de transferencia, por lo cual practicar para examinar la estabilidad de otra función me parece buena idea.

Ahora, para dibujar el diagrama de Nyquist podemos simplemente usar Octave-MATLAB y la función nyquist, descrita a continuación:

Función nyquist

[re, im, w] = nyquist (sys)
[re, im, w] = nyquist (sys, w)

Descripción: Diagrama de Nyquist de respuesta de frecuencia. Si no se dan argumentos de salida, la respuesta se muestra en la pantalla.

Entradas:

• sys: Sistema LTI. Debe ser de una sola entrada y de una sola salida (SISO).
• w: Vector opcional de valores de frecuencia. Si no es especificado, es calculado con los ceros y polos del sistema.

Salidas:

• re: Vector con las partes reales. El largo es el mismo del vector de frecuencias w.
• im: Vector de las partes imaginarias. Igual tamaño que w.
• w: Vector de valores de frecuencia usado.

Proporcionando el sistema a la función, ignorando el vector de frecuencias w que no se especifica en el problema:

Entonces le pasamos a la función nyquist el sistema creado anteriormente y ajustamos un poco el plano para poder mostrar desde -2 a 2 en ambos ejes.

Lo siguiente es examinar su estabilidad.Esto podriamos hacerlo de múltiples maneras, pero debido a que estamos usando un diagrama de Nyquist la forma más sencilla es obtener los puntos críticos o raíces del denominador de la función del problema, y observar en que plano caen. En un par de fuentes se menciona esto:

"La estabilidad de un sistema se puede determinar por la ubicacón de los polos(raíces de la ecuación característica) en el plano s. Si alguno de los polos de la ecuación característica se encuentran en el semiplano derecho el sistema es inestable" [2]

"We remind you that a stable system will have all of the poles in the left half of the s-plane, so all of the p's will be negative in G(s)." [3]

Nota: La ecuación característica es el denominador de la función de transferencia.

El plano quedaría algo así entonces:

Podemos usar octave para obtener los puntos críticos de la ecuación característica, que sería s^3 + 0.2 s^2 + s + 1. Para esto utilizamos roots que toma como parametro el vector con los coeficientes de la ecuación característica:

Estos puntos quedan, los primeros dos del lado derecho del plano, y el último del lado izquierdo, dichos valores quedan localizados donde se muestra:

Con esto podemos concluir que: la ecuación es inestable.

Nota: Con solo ver la gráfica de Nyquist mostrada anteriormente podemos ver que NINGÚN punto cae sobre el eje izquierdo, por lo que simplemente podemos concluir que es inestable, pero no esta nada mal explicar como comprobar para los demás casos.

Referencias:

[1] Nyquist Function
[2] Sistemas de Control
[3] Nyquist Plots

Tarea 4: Curva de Respuesta

Para obtener la salida del sistema se usa la función lsim, describida a continuación.

Function File: y= lsim (sys, u, t)

Parámetros

• sys: Sistema invariante en el tiempo (LTI).
• u: Vector de señal de entrada. Debe ser del mismo largo de filas que el vector de tiempos y el mismo largo que entradas de columnas.
• t: Vector de tiempos espaciado uniformemente.

Salida

y: Vector de respuesta de salida. Tiene tantas filas como el largo de t y tantas columnas como salidas.

Proceso:

Creamos un vector con los digitos del numerador, y un vector con los digitos del denominador y creamos un sistema con ellos.
 

Después creamos un vector de tiempos uniformes(0.1 de espacio) y obtenemos el vector entrada de aceleración unitaria en base a éste:


Ahora podemos utilizar la función lsim para obtener la salida del sistema, dando como parametros el sistema, el vector de tiempos y vector de entrada.


Después graficamos los resultados:


Resultado:

Tarea 3: Función de Transferencia y Diagramas de Bloques

Para la tarea 3 de laboratorio de automatización, escogí el siguiente problema:

El problema, como dice, consiste en obtener la función de transferencia del circuito eléctrico mostrado.

Para obtener las ecuaciones de dicho sistema, primero se necesita saber sobre las leyes básicas que gobiernan los circuitos eléctricos (las leyes de Kirchoff de corriente y voltaje). 

1. La primera ley de Kirchoff( ley de la corriente, KCL) dice que la suma algebraica de todas las corrientes entrando y saliendo de un nodo es cero. Esto también se puede expresar como: "La suma de las corrientes entrando en un nodo es igual a la suma de las corrientes saliendo del mismo nodo".
   
2. La segunda ley de Kirchoff( ley del voltaje, KVL) dice que en cualquier instante dado la suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier bucle en un circuito eléctrico es cero. Esto también puede expresarse como: "La suma de las caídas de voltaje es igual a la suma de los incrementos de voltaje alrededor de un bucle". 

Entonces podemos obtener un modelo matemático de un circuito eléctrico aplicando una o ambas de las leyes de Kirchoff a el mismo.

Mi problema

El circuito consta de resistencias (Ohms), capacitadores (Faradios) e intensidad de corriente(Amperes). Considerando ei es la entrada y e0 la salida. Las ecuacones del sistema son:

• Tomando la primera parte, donde esta ei

• Tomando la parte de e0

•  Ahora, utilizando la ley de Kirchoff de los Corrientes(Suma de Corrientes = 0), podemos decir que en la otra ecuación: e0 + ei = 0, que significa:

Ahora para poder obtener la ecuación de transferencia, primero sacamos la transformada de Laplace de cada una de estas ecuaciones, como sigue:

Ahora, una opción es obtener la ecuacíón de transferencia desde estas transformadas, pero el problema especifíca que debemos obtenerla utilizando la aproximación por diagramas de bloques, por lo tanto debemos obtener el diagrama de bloques de cada ecuación, y luego combinarlos para obtener la función de transferencia.

Cambiando la ecuación 1 para poder escribirla en un diagrama de bloques:

Cuyo diagrama de bloques queda así:

(1)

También podemos modificar la ecuación 2 de la siguiente manera:

El diagrama de bloques de ésta ecuación:

(2)

La ecuación 3 podemos pasarla directamente a diagrama de bloques y queda así:

(3)

Ahora combinando los primeros tres diagramas, juntando salidas con entradas iguales y demás, podemos obtener el diagrama siguiente:

Podemos simplificar este diagrama mucho más a fondo para poder encontrar la función de transferencia, la primera simplificación sería así:

(1)

(2)

(3)

(4)

Entonces la ecuación de transferencia es:

Tarea 2: Transformada de Laplace

Para la Tarea 2, debíamos de escoger un ejercicio para resolver, de el libro: "Ingeniería de
Control Moderna" de Katsuhijo Ogata. Mi ejercicio fue el siguiente:

Entonces, como dice el ejercicio, debía obtener la transformada de Laplace de la función que corresponde a dicha gráfica. No podemos sacar la transformada directamente de una gráfica de ésta manera. Para poder empezar necesitamos obtener la función o funciones que satisfacen ésta gráfica. En este caso son dos, como se puede observar claramente, la función está definida en los intervalos de 0 a T, y de T a infinito, y en ambas es diferente, por lo tanto podemos separar f(t) en dos funciones g(t) y h(t) y obtener la forma algebraica de cada una, entonces quedaría algo así:

Para h(t) no es necesario encontrar la función de alguna forma en específico, basta con ver la gráfica para saber que h(t) siempre será igual a T, desde T hasta infinito. Pero g(t) es diferente(aunque sería fácil deducir también de manera gráfica que g(t) = t, explicaré como obtenerla). Para obtener g(t), utilizamos dos puntos de la gráfica(1) para luego sustituirlos en la ecuación(2):

(1)                                                                                 (2)

Podemos utilizar cualquier par de puntos como (x1, y1), (x2, y2), respectivamente, y obtener la misma función, pero por simplicidad escogí:

Entonces lo restante es sustituir los valores de los puntos en la ecuación, y despejar y. Lo cual se hace así:

Ya que tenemos g(t) y h(t), podemos proceder a encontrar la transformada de Laplace. Para esto utilizamos la fórmula que dice: 

Pero nosotros no tenemos una función directa f(t), tenemos las dos funciones que forman f(t): g(t) y h(t), por lo tanto, partimos los intervalos de ésta fórmula en dos (de 0 a T, y de T a infinito, como g(t) y h(t)). Después sustituimos g(t) y h(t). La fórmula entonces quedaría así:

Entonces para encontrar la Transformada de Laplace de f(t) debemos integrar ambas partes. Para comprender más fácilmente ésto, lo haré por partes, integrando primero (1) y luego (2), al final entonces simplemente las sumaríamos. También ignoraré los intervalos por ahora, más adelante los evaluamos.

Para integrar (1) tenemos que realizarlo por partes; si no sabemos como, se utiliza la fórmula: 

Entonces sustituyendo los valores, e integrando quedaría algo así:

(Nota: no voy a explicar paso a paso las integrales porque es algo tedioso, solo me dedicaré a explicar superficialmente)

Eso es para el primer intervalo, para el segundo, que sería la ecuación (2), la integral es bastante sencilla:

(T es constante, por lo tanto podemos sacarla de la integral)

Ya teniendo ambas integrales, debemos ahora sí evaluarlas en los intervalos correspondientes. 

Con evaluarlas me refiero a sustituir los valores de los extremos de los intervalos superior e inferior, y restarlos respectivamente. Entonces, volvemos a separar ambas en (1) y (2) para entenderlo más fácilmente. Para evaluar (1) y (2) entonces tenemos que:

Ahora estos valores serán los que sumaremos para obtener finalmente la transformada de Laplace, de la siguiente manera:

Pero aún así podemos simplificarla un poco más, agrupando los términos que tienen s^2 de denominador. Quedando definitivamente de la siguiente forma:

Resultado:

Y este fue el ejercicio de la Tarea 2, tengo que decir que no fue sencillo, debido a que no recordaba bien como realizar este tipo de ejercicios(el problema estaba sencillo). 

Referencia:

• http://www.matematica1.com/2012/03/transformada-de-laplace-partir-de-una.html