Emmanuel García: Reporte 1: Función de Transferencia

El primer reporte consta de crear un modelo matemático para nuestro proyecto, en forma de una función de transferencia. Primero que nada explicaré en que consiste nuestro proyecto:

Control de ventiladores a partir de temperatura

(Simulación sencilla hecha hecha en Proteus, faltaría un microcontrolador que controle con más precisión todo el sistema)

Descripción:

El proyecto consiste en un sensor de temperatura (LM35) del cual a partir de la variación que de, pueda surgir un voltaje variable que produzca diferentes velocidades para el ventilador, o en caso de que la temperatura sea muy baja, éste permanezca apagado.

El rango de voltaje de salida en el que opera el LM35 es de 10mV por °C, por lo cual será necesario amplificar este voltaje a una cantidad mucho mayor, que pueda encender el ventilador.

Materiales:

Los materiales que tenemos contemplados de momento, pero que podrían aumentar son los siguientes:

Sensor LM35
Amplificador Operacional (LM324)
Algunos Leds para obtener retroalimentación visual.
Resistencias
Ventilador(VN4-012P)
Fuente de Poder de 12V
Cable para conexiones.

Modelo Matemático

Primero necesitamos dejar en claro que es un modelo matemático.

[1]Un modelo matemático es la descripción matemática de un sistema o fenómeno de la vida real. La formulación de un modelo matemático implica:

Identificar las variables causantes del cambio de un sistema.
Establecer un conjunto de hipótesis razonables acerca del sistema (leyes empíricas aplicables).

Las hipótesis de un sistema implican con frecuencia la razón o tasa de cambio de una o más variables que intervienen. El enunciado matemático de esas hipótesis es una o más ecuaciones donde intervienen derivadas, es decir, ecuaciones diferenciales.

Proceso de modelado

El proceso de modelado básicamente sigue los siguientes pasos:

Identificación de variables estableciendo una notación matemática.
Leyes empíricas que se pueden aplicar.

Modelo del Proyecto

Entonces según lo definido anteriormente primero identificaremos las variables que causan cambios y luego establecer algunas hipótesis:

Identificación de variables causantes del cambioPrimero es necesario identificar las variables que causan el cambio en el sistema, que en este caso es el control de los ventiladores. La única variable que podemos identificar es:

Temperatura del sensor LM35: A partir de ésta, todo el sistema actuará(si es baja, el ventilador podría mantenerse apagado o encender muy lentamente, al ir incrementando la velocidad del ventilador debería aumentar proporcionalmente hasta cierto punto).
Nota: podríamos considerar el voltaje debido a que este es el que marcara la velocidad del ventilador, pero al ser diferente el voltaje en respuesta a la temperatura del sensor LM35, la que en verdad esta causando este cambio es la temperatura.

Establecer un conjunto de hipótesis acerca del sistema

Asumiendo que el sistema éste funcionando correctamente, podemos hacer las siguientes hipótesis:

"La velocidad del ventilador aumentará proporcionalmente con la temperatura, hasta un punto en el cual dejará de aumentar"
"La velocidad del ventilador disminuirá proporcionalmente con la temperatura hasta caer a cero"
"En caso de que no exista cambio de temperatura, la velocidad del ventilador permanecerá constante"

Proceso de modelado

Ahora ya para realzar el modelado matemático, primero identificamos las variables involucradas en el sistema mediante una notación matemática para después mostrar las leyes que se puedan aplicar.

Identificación de variables estableciendo una notación matemática

Como sabemos, la variable causante del cambo sería la temperatura, esta haría que el sensor produjera un voltaje de salida variable de 10mV/°C, y a su vez este voltaje amplificado cambiaría la velocidad del ventilador, por lo tanto:

Temperatura t (en °C)
Voltaje V(en Volts)
Velocidad v (en RPM, revoluciones por minuto, debido a que trabajamos con un ventilador)

Leyes empíricas que se pueden aplicar.
Ley de Enfriamiento de Newton. Al trabajar con variaciones(diferencias) de temperatura, no es difícil darnos cuenta que todo esto se refiere a derivadas,en cuanto a temperatura la Ley de Enfriamiento de Newton podría servir de alguna manera, y ésta dice que en un cuerpo que se está enfriando, la rapidez con que la temperatura T(t) cambia es proporcional a la diferencia entre la temperatura del cuerpo y la temperatura constante Tenv del medio que lo rodea.

Donde r es la constante de proporcionalidad.

LM35
Como ya mencioné el sensor LM35 produce 10mV/°C, lo que podemos utilizar para crear una simple ecuación que defina el voltaje que nos dará en función de la temperatura.

Entonces dependiendo de la temperatura que sería la entrada, podríamos encontrar el voltaje que este produciría utilizando el sensor LM35. Esta sera nuestra ecuación de entrada.
Amplificador No Inversor
Nuestro circuito hace uso de un amplificador no inversor, que es necesario para amplificar la salida del sensor LM35(10mV) a algo mayor que nos pueda producir cantidades de entre 8 y 13 volts (lo que opera el ventilador), por ello para obtener la cantidad con la cual ampliaremos, necesitamos hacer uso de la siguiente función:

Nota: R2 y R1 son constantes, debido a que son resistencias que ajustaremos para obtener una ganancia que pueda darnos un voltaje de salida entre 8 y 12V

Usando la ecuación anterior del LM35, podríamos obtener el voltaje de inicio para esta ecuación, y entonces obtener el voltaje de salida que pondría en operación el ventilador. Por lo tanto esta puede ser la ecuación de salida.

Función de Transferencia

[2]Un modelo matemático para un sistema descrito por una ecuación diferencial lineal e invariante en el tiempo. Es la transformada Laplace de la salida divido entre la transformada Laplace de la entrada.

En el caso de el problema, yo propongo como funciones de entrada y salida según lo definido anteriormente:

fin =