Para esta tarea escogí el ejercicio 4.8 que dice:
Assume the domain of discourse to be all human beings. Translate the following sentences into predicate logic:
- Augustus is not loved by everyone( α : Augustus, L : Love).
- Augustus and Livia respect each other ( α : Augustus, l : livia, R : Respect).
- Livia respects everyone who loves Augustus.
Traducido:
Asuma que el dominio del discurso son todos los seres humanos. Traduzca los siguientes enunciados en lógica predicativa:
- Augustus no es amado por todos ( α : Augustus, A : Amor).
- Augustus y Livia se respetan el uno al otro ( α : Augustus, l : livia, R : Respeto).
- Livia respeta a todos los que aman a Augustus.
Primero comenzaremos con la expresión (1):
(1) Augustus no es amado por todos
Aquí, considerando que α : Augustus y A : Amor.
Simplemente sabiendo que estamos hablando de todos los seres humanos, podemos primero colocar el cuantificador ∀ para referirnos a todo el conjunto de seres humanos. Pero debido a que estamos hablando que no todos los seres humanos aman a augustus, debemos darle una negación a este cuantificador. Ya en la expresión podemos colocar Axα (x ama a Augustus, donde x es el ser humano en cuestión). De ésta forma quedaría algo así:
Simplemente sabiendo que estamos hablando de todos los seres humanos, podemos primero colocar el cuantificador ∀ para referirnos a todo el conjunto de seres humanos. Pero debido a que estamos hablando que no todos los seres humanos aman a augustus, debemos darle una negación a este cuantificador. Ya en la expresión podemos colocar Axα (x ama a Augustus, donde x es el ser humano en cuestión). De ésta forma quedaría algo así:
¬∀x ( Axα )
[ No para todo x, x ama a Augustus = Augustus no es amado por todos]
ó (utilizando la propiedad de la negación de cuantificadores)
x ( ¬Axα )
[ Existe por lo menos un x, que no ama a Augustus]
ó (utilizando la propiedad de la negación de cuantificadores)
x ( ¬Axα )[ Existe por lo menos un x, que no ama a Augustus]
Axα: x ama a Augustus
Considerando la expresión (2):
(2) Augustus y Livia se respetan el uno al otro
Donde α : Augustus, l : livia, R : Respeto.
En este caso no son necesarios cuantificadores, debido a que solamente estamos hablando de Augustus y Livia. Este enunciado puede ser también expresado como Augustus respeta a Livia y Livia respeta a Augustus, lo que facilita su traducción a lógica predicativa:
(Rαl ^ Rlα )
[Augustus respeta a Livia y Livia Respeta a Augustus = Augustus y Livia se respetan el uno al otro]
Rαl: Augustus respeta a Livia
Rlα: Livia respeta a Augustus
Para terminar, la expresión (3):
(3) Livia respeta a todos los que aman a Augustus.
Donde α : Augustus, l : livia, R : Respeto y A : Amor.
Aquí de nuevo estamos hablando de todos los que aman a Augustus, por lo que el cuantificador en cuestión es ∀. Ahora, como estamos hablando de que solo respeta a aquellos que aman a Augustus, estamos hablando de un bicondicional, debido a que Livia respeta a alguien sí y solo sí ese alguien ama a Augustus. Por lo tanto quedaría algo así:
Aquí de nuevo estamos hablando de todos los que aman a Augustus, por lo que el cuantificador en cuestión es ∀. Ahora, como estamos hablando de que solo respeta a aquellos que aman a Augustus, estamos hablando de un bicondicional, debido a que Livia respeta a alguien sí y solo sí ese alguien ama a Augustus. Por lo tanto quedaría algo así:
∀x ( Rlx ↔ Lxα)
[Para todo x, Livia respeta a x si y solo si x ama a Augustus]
Ahí improvisaste la doble implicación; Lidia podría bien respetar a alguien adicional quien no ame a Augustus. 9 pts.
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