Tarea 1: Magia

Para el primer post de laboratorio de Automatización y Control de Sistemas Dinámicos escogí comprobar por qué la siguiente afirmación es correcta:

Paso a Paso

La forma en la que la encontre fue muy sencilla, sustituyendo partes por otras equivalentes, como explicaré a continuación:

Para poder comprobar la afirmación, es necesario usar una de las fórmulas del Teorema de Euler:

La primera es la que debemos sustituir en la parte izquierda, quedandonos entonces de la forma siguiente:

De esta manera, podemos convertir la parte de la derecha en una de las definiciones de la exponencial, que es la siguiente:

Sustituyendo x por jΘ, la función nos queda como al inicio:

Comprobando esto mediante software, podemos calcular el exponencial de un número "x", mediante dos formas diferentes, una utilizando la librería default, y otra calculandolo usando el método de la sumatoria. El script en Python, es tan sencillo como lo siguiente:

from sys import argv
from math import pow, exp
x = int(argv[1])

def factorial(x):
  if x <= 1:
    return 1
  else:
    return x*factorial(x-1)

suma = 0.0
for i in range(100):
  suma += (pow(x, i)/factorial(i))
print "Resultado con Sumatoria: %s"%suma
print "Resultado con metodo exponencial de la libreria: %s"%exp(x)
print "Diferencia: %s"%abs(exp(x) - suma)

En exponenciales pequeños los resultados son bastante similares, pero aumentando "x",  el cálculo de la sumatoria empieza a ser diferente al de la librería,

Como se ve, aunque la diferencia de los primeros dígitos puede verse pequeña, estámos hablando de números increíblemente grandes, por lo cual una diferencia como esa, es bastante enorme. Pero esto es debido a que el método de la sumatoria es un cálculo muy pesado y en éste caso solo repito la sumatoria desde 0 hasta 100, por lo que la exactitud de los números es limitada. 

Aún así en los valores se puede observar la similaridad, por lo cual podemos decir que la afirmación anterior es correcta.