Emmanuel García: Tarea 4 - Sistemas Caóticos

Sistema Caótico - ¿Qué es?

Podría definirse un sistema caótico como un sistema dinámico muy sensible a las condiciones iniciales, es decir que ocurren cambios muy bruscos en la solución aunque alteres muy poquitito los valores con los que empiezas (o sea tus condiciones iniciales).

(Imágen tomada de: http://media.tumblr.com/tumblr_lh50ou7zFn1qzudrt.png)

No se trata de encontrar soluciones exactas a las ecuaciones que definen dicho sistema dinámico (lo cual suele ser imposible), sino más bien el poder contestar preguntas como "¿A largo plazo, se estabilizará el sistema? ¿Y si lo hace, cuáles serán los estados posibles?" o "¿Variará el estado a largo plazo del sistema, si cambian las condiciones iniciales?"

Existen muchos ejemplos de sistemas caóticos, cosas como el clima, el crecimiento de las plantas, las tormentas, el latir del corazón(flujo de sangre), y otras más, tienen una naturaleza de este tipo.

En mi caso en particular, decidí estudiar el mar en lugares encerrados, y tratare de explicar por qué es caótico.

Características de un sistema caótico

Para conocer si un sistema es caótico, se suelen buscar las siguientes características:

Sensibilidad a las condiciones iniciales. Esta característica implica que cada punto en un sistema es arbitrariamente aproximado por otros puntos con trayectorias futuras significativamente diferentes. Entonces, una pequeña perturbación en la trayectoria actual puede llevar a un diferente comportamiento más adelante.

Topologicamente mezclado. Esto significa que el sistema evolucionara con el tiempo, así que una región o conjunto abierto de su espacio eventualmente se sobrepondrá con otra región dada.

Densidad de orbitas periódicas. La densidad de orbitas periódicas significa que cada punto del espacio es aproximado arbitrariamente de manera cercana por órbitas periódicas. Sistemas topologicamente mezclados que fallen esta condición, probablemente tampoco tengan sensibilidad a las condiciones iniciales, y por lo tanto pueden no ser caóticos.

En mi caso en particular, decidí estudiar el mar, y tratare de explicar por qué es caótico.

El mar

Como ya sabemos, Un mar es una masa de agua salada de tamaño inferior al océano, así como también el conjunto de la masa de agua salada que cubre la mayor parte de la superficie del planeta Tierra, incluyendo océanos y mares menores.

(Imágen tomada de: http://1.bp.blogspot.com/-Z1C0N-U92Zw/TwoV80LMpYI/AAAAAAAABFg/eBdIgX2Hlv8/s1600/MAR.jpg)

En las simulaciones posteriores se usará un tipo de mar específico, mar cerrado Los mares cerrados suelen ocupar extensas depresiones endorreicas . Corresponden a lagos muy grandes, de agua más o menos salada, entre los cuales destacan el mar Muerto, el mar Caspio y el mar de Aral.

¿Por qué es caótico?

El mar(pensandolo como un sistema), es caótico debido a que diversas partes de su "funcionamiento" afectan como se comporta. Por ejemplo, la temperatura, la presión del aire, las tormentas y también los efectos de la rotación de la Tierra afectan la dirección de las corrientes oceánicas y el comportamiento del mar, por lo tanto, es sensible a las condiciones iniciales.

(Imágen tomada de: http://www.spraygraphic.com/storage2/member_files/4305/picture/600_8353b314b327f9efa70226be733ac6a2.jpg)

Un terremoto en algún lugar bajo el mar en un lugar alejado de la civilización, puede ocasionar enormes tsunamis que destruyen ciudades. Este tipo de eventos es lo que convierte el mar en un sistema caótico.

Como sistema caótico, también cumple con las características de ser topológicamente mezclado, y densidad de órbitas periódicas, pero es necesario observar las gráficas posteriores para ver estas características.

Aquí un video de la visualización de las corrientes oceánicas entre los años 2007-2010, realizada por la NASA :

Modelado mediante un Sistema de Ecuaciones

Investigando en internet, encontré un pdf interesante de un par de científcos que deseaban presentar un modelo de un mar caótico encerrado(bounded chaotic sea). El objetivo del pdf era dar una definición precisa de islas elípticas y mares caóticos. En dicho pdf, se proponen dos ecuaciones para modelar dicho már caótico encerrado:

Donde:

a >= 0, y b>= 0 son los parámetros de bifurcación
x, y son las variables

Entonces, utilizando a = 3.5 y b = 0.3, con x0 = 0.123, 0.177 < y0 < 0.277 con pasos de 0.01; en el pdf se presentaba la siguiente gráfica de un mar caótico:

Mi objetivo fue entonces, modelar dichas ecuaciones en un programa en python, para poder inicialmente reproducir dicho mar caótico. Inicialmente no tuve éxito, ya que al modelarlo se producían líneas, puntos y otras gráficas no deseables, pero en un punto, se produjo el primer avance. Dado a que x inicial = 0.123, y inicial = 0.177, observe que utilizando solo esos valores, se dibujaba un cŕculo bastante pequeño. Alejando la vista a los rangos de la imágen anterior ( -0.1 : 0.4), pude observar que dicho círculo se visuallizaba como un punto en el centro de dichas coordenadas, como la imágen anterior.

Gráfica inicial, se aprecia como un círculo Gráfica ajustada, se aprecia como un punto

Ahí me di cuenta que después de encontrar dichos puntos para ese círculo, debía repetir el proceso, aumentando la y inicial con 0.01, para así ir expandiendo los círculos. Haciendo esto, logré la siguiente gráfica:

Utilizando a = 3.5 y b = 0.3, con x0 = 0.123, 0.177 < y0 < 0.277 con pasos de 0.01;

Aquí es donde se podría definir la naturaleza caótica del sistema. Uno esperaría observando el comportamiento inicial del sistema, que la gráfica solamente fuera expandiendose en elipses, y elipses. Pero en algún punto, dependiendo de las condiciones iniciales, el sistema se convierte en una especie de triángulo, con las elipses en su interior. Esto puede visualizarse como un mar caótico cerrado.

Entonces podemos ver las tres características del sistema caótico:

Es sensible a las condiciones iniciales
Tiene una topología mezclada, ya que algunos puntos se sobreponen, y muestra diferentes formas.
Cada punto en el espacio son aproximados por órbitas periódicas.

Código:

#!/usr/bin/python

import math
dt=.01
a = 3.5
b = 0.3
pfile=open('sea.dat','w')
x=0.123
y=0.177
while y < 0.277:
 for i in range(1000):
  pfile.write("%f %f\n"%(x, y))
  x_n1 = -a*(math.pow(x, 2)) + y
  y_n1 = b - abs(x)
  y = y_n1
  x = x_n1
 y = y + dt
pfile.close()

Graficar con:

plot "sea.dat"; set xrange[-0.1:0.4]; set yrange[-0.1:0.4]; set title "Chaotic Sea"

Otros ejemplos:

Aquí hay algunos otros ejemplos modificando los paramétros de bifurcación, donde también se puede apreciar la naturaleza caótica:

Utilizando a = 4.8 y b = 0.3, con x0 = 0.123, 0.177 < y0 < 0.277 con pasos de 0.01;