martes, 30 de octubre de 2012

Programas - Estabilidad

El post siguiente involucrá un pequeño reporte sobre estabilidad y programas que analizarán la estabilidad de un sistema dado, utilizando el criterio de estabilidad de Routh. También utilizaré un método gráfico que está más detallado en el post de laboratorio.

Función de transferencia usada:
0.0026 s + 0.12
________________
s^2 + 0.0026 s + 0.1

Como dice una de las fuentes:

"Un sistema realimentado es estable si todos los polos de lazo cerrado se ubican en el semiplano izquierdo del plano s. Esto es lo mismo a decir que todas las raíces de la ecuación característica tienen parte real negativa." [1]


Pensando en lo anterior, podemos hacer uso de la función roots de octave para obtener las raíces o puntos críticos de la ecuación característica (denominador). En base a estas raíces podríamos extraer la parte real y comparar si están todas del lado izquierdo, es decir si son negativas. Un pequeño script en octave que hace esto es el siguiente:



El programa toma como parámetro un vector con los coeficientes del denominador e imprime las raíces y un mensaje de si es estable o no.

Criterio de estabilidad de Routh:

El criterio de estabilidad de Routh nos permite saber si existen raíces con parte real positiva (inestable) sin necesidad de resolver la ecuación, es decir sin obtener las raíces. Para entender el procedimiento, pueden leer el primer link de las referencias(en español) o el segundo(en inglés) que explican el algoritmo detalladamente.
Nota: El segundo link contiene algunos ejemplos con operaciones erróneas, pero el algoritmo es correcto.

El programa que hace esto lo hice en python porque me es más fácil manipular vectores y matrices ahí. Toma como parámetro un vector con los coeficientes de la ecuación característica, e imprime la matriz creada y un mensaje de si es o no estable.




Lugar geométrico de las raíces:

El siguiente código se encarga de graficar el impulso, el diagrama de nyquist y marcar las raíces en donde corresponde:




Root Locus

La estabilidad del sistema depende de la localización de los polos y ceros en el sistema. Un sistema continuo es estable si todos los polos están en la parte izquierda del plano. En cambio, un sistema discreto es estable si todos los polos están dentro del circulo centrados en el orígen del plano. 

Utilizando rlocus, podemos verificar esto:


Observando cerca del orígen (0) se encuentra un punto rojo(en verdad son dos, los polos) , además de estar encerrados dentro del círculo, por lo cual pasa esta prueba de estabilidad.

Nyquist Diagram

Graficamente podemos observar las raíces y el diagrama de nyquist como sigue:


Nota: El * marca uno de los puntos críticos (en realidad son 2, pero como se puede ver en los números de los puntos críticos estos son bastante cercanos). 

Referencias: 

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