jueves, 20 de septiembre de 2012

Tarea 3: Función de Transferencia y Diagramas de Bloques

Para la tarea 3 de laboratorio de automatización, escogí el siguiente problema:


El problema, como dice, consiste en obtener la función de transferencia del circuito eléctrico mostrado.

Para obtener las ecuaciones de dicho sistema, primero se necesita saber sobre las leyes básicas que gobiernan los circuitos eléctricos (las leyes de Kirchoff de corriente y voltaje). 
  1. La primera ley de Kirchoff( ley de la corriente, KCL) dice que la suma algebraica de todas las corrientes entrando y saliendo de un nodo es cero. Esto también se puede expresar como: "La suma de las corrientes entrando en un nodo es igual a la suma de las corrientes saliendo del mismo nodo".
  2. La segunda ley de Kirchoff( ley del voltaje, KVL) dice que en cualquier instante dado la suma algebraica de los voltajes alrededor de cualquier bucle en un circuito eléctrico es cero. Esto también puede expresarse como: "La suma de las caídas de voltaje es igual a la suma de los incrementos de voltaje alrededor de un bucle". 
Entonces podemos obtener un modelo matemático de un circuito eléctrico aplicando una o ambas de las leyes de Kirchoff a el mismo.

Mi problema
El circuito consta de resistencias (Ohms), capacitadores (Faradios) e intensidad de corriente(Amperes). Considerando ei es la entrada y e0 la salida. Las ecuacones del sistema son:


  • Tomando la primera parte, donde esta ei

  • Tomando la parte de e0



  •  Ahora, utilizando la ley de Kirchoff de los Corrientes(Suma de Corrientes = 0), podemos decir que en la otra ecuación: e0 + ei = 0, que significa:

Ahora para poder obtener la ecuación de transferencia, primero sacamos la transformada de Laplace de cada una de estas ecuaciones, como sigue:


Ahora, una opción es obtener la ecuacíón de transferencia desde estas transformadas, pero el problema especifíca que debemos obtenerla utilizando la aproximación por diagramas de bloques, por lo tanto debemos obtener el diagrama de bloques de cada ecuación, y luego combinarlos para obtener la función de transferencia.

Cambiando la ecuación 1 para poder escribirla en un diagrama de bloques:
Cuyo diagrama de bloques queda así:
(1)
También podemos modificar la ecuación 2 de la siguiente manera:

El diagrama de bloques de ésta ecuación:

(2)

La ecuación 3 podemos pasarla directamente a diagrama de bloques y queda así:

(3)

Ahora combinando los primeros tres diagramas, juntando salidas con entradas iguales y demás, podemos obtener el diagrama siguiente:


Podemos simplificar este diagrama mucho más a fondo para poder encontrar la función de transferencia, la primera simplificación sería así:

(1)
(2)
(3)
(4)

Entonces la ecuación de transferencia es:

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